鲜花：随机区间的期望长度证明

水洛谷讨论区看见的。

离散的情况

给定离散区间 $[1,n]$，在区间中随机且独立地选取两个端点 $l,r$ 满足 $1\le l\le r\le n$，求 $r-l+1$ 的期望 $E[L]$。
答案显然是：

$$E[L]=\frac{所有可能区间的总长度}{所有可能的区间数}$$

分母是好算的，我们计算分子：

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n\sum_{j=i}^nj-i+1&=\sum_{len=1}^nlen\cdot (n-len+1)\\ &=\sum_{len=1}^n(n+1)\cdot len-\sum_{len=1}^nlen^2\\ &=\frac{(n+1)^2n}{2}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{aligned}$$

代入：

$$\begin{aligned} E[L]&=\frac{\frac{(n+1)^2n}{2}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\frac{(n+1)n}{2}}\\ &=\frac{n+2}{3} \end{aligned}$$

证毕。
实际应用中一般 $n$ 较大，可以将期望长度直接视作 $\dfrac{n}{3}$，并且最好乘上一个常数。

连续的情况

给定连续区间 $[0,n]$，在区间中随机且独立地选取两个端点 $l,r$ 满足 $0\le l\le r\le n$，求 $r-l$ 的期望 $E[L]$。
我不会积分，所以下面看 Gemini 发挥：
定义联合概率密度函数 $f(l,r)$：由于 $l,r$ 在 $l\le r$ 区域内均匀分布，该区域的面积是 $\dfrac{1}{2}n^2$（一个腰长为 $n$ 的等腰直角三角形）。因此，该区域内 $f(l,r)=\dfrac{2}{n^2}$。
期望长度：

$$\begin{aligned} E[L]&=\iint_{0\le l\le r\le n}(r-l)\cdot f(l,r)\,dl\,dr\\ &=\int_0^n\int_l^n(r-l)\cdot\frac{2}{n^2}\,dr\,dl \end{aligned}$$

经计算，答案为：

$$E[L]=\frac{n}{3}$$

什么？你问我咋算出来的？我看不懂 Gemini 说了点啥。

图

你在期待些什么？

作者：たにし