whk 趣事二则

省流：导多了．

其一

问题：求 $29+16\cos x+12\sin x$ 的最大值．

设 $f(x)=29+16\cos x+12\sin x$，求导可得 $f'(x)=-16\sin x+12\cos x$，整理可得 $\tan x=\dfrac{3}{4}$ 时 $f'(x)=0$，容易发现此时 $x$ 是一个边长为 $3,4,5$ 的直角三角形的一个锐角，易得此时的 $\sin x$ 和 $\cos x$，代回原式即可求得最大值 $49$．

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然后我盯着这个看了一会．

不对啊这个是不是叫辅助角公式？

其二

求 $\sin^2\theta\cos^2\theta$ 的最大值．

由均值不等式，显然有

$$\sin^2\theta\cos^2\theta\le\left(\frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{2}\right)^2=\frac{1}{4}.$$

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然后我盯着这个看了一会．

不对啊这个是不是叫二倍角公式？

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涩图：

作者：RYO